Pionierskie badania polskich matematyków nad symetrią wszystkich symetrii
Polskim matematykom udało się rozwiązać ważny problem dotyczący Symetria wszystkich symetrii rozwiązać. Był to nierozwiązany problem przez kilka dziesięcioleci - jedno z największych wyzwań geometrycznej teorii grup.
Wyniki Dr. Marek Kaluba (Uniwersytet Adama Mickiewicza i Instytut Technologii w Karlsruhe), prof. Dawid Kielak (Uniwersytet Oksfordzki) i prof. Piotr Nowak (Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk) zostały opublikowane w jednym z najbardziej renomowanych czasopism matematycznych Roczniki matematyki opublikowany.
Źródło obrazu: Pixabay
Rozwiązaliśmy szczególny, od dawna otwarty problem, pokazując, że jest to konkretna nieskończona rodzina obiekty algebraiczne - grupy - ma właściwość T i dlatego jest bardzo niezgodny z Geometria euklidesowa jest ”, podsumowuje Nowak.
I Dr. Marek Kaluba dodaje: Dzięki naszym badaniom zrozumieliśmy pewne geometryczne aspekty grup, które wszystkie kodują symetrie.
Obiekty z rozszerzeniem Nieruchomość Tktóre badaliśmy mają bardzo egzotyczne właściwości geometryczne (nie można ich nazwać Symetrie w Geometria euklidesowa zostaną zrealizowane). Czy wydaje się to oderwane od rzeczywistości? Z pozoru tak. Ale znajomość tej skomplikowanej właściwości T już znalazła zastosowanie. Umożliwia np. Budowę ekspanderów - wykresów z dużą liczbą połączeń, które można znaleźć w plikach Algorytmy przesyłania strumieniowego być użytym. I taki algorytmy służą między innymi do wyświetlania Trendy na Twitterze odpowiedzialny.
Pytanie, czy badane przez nas grupy mają taką właściwość T, pojawiło się drukiem w latach 90. Kiedy byłem doktorantem, to był problem, na który natknąłem się na każdym innym wykładzie i konferencji Teoria grup usłyszał - podsumowuje Piotr Nowak.
A Dawid Kielak dodaje: Nasz wynik wyjaśnia, jak działa określony algorytm. Jest to algorytm wymiany produktu, który jest używany, gdy chcesz wyciągnąć elementy z dużego zestawu, np. B. zbiór zawierający więcej elementów niż liczba cząstek we wszechświecie. Ten Algorithmus Istnieje od lat 1990. i działa znacznie lepiej niż oczekiwano. Nasz artykuł wyjaśnia, dlaczego działa tak dobrze - mówi prof. Kielak.
I dodaje: Informatyka jest nowa fizyka. Otaczają nas nie tylko cząsteczki, ale coraz częściej algorytmy. Naszym zadaniem jako matematyków będzie zrozumienie algorytmów, pokazanie, dlaczego działają, czy nie; dlaczego są szybkie lub wolne Naukowcy oparli się na obliczeniach komputerowych jako dowód matematyczny. Wykorzystanie komputerów do dowodzenia twierdzeń w matematyce nie było wcześniej uważane za szczególnie eleganckie. Społeczność matematyk teoretyczny głównie marszczył nos przy komputerach. Tutaj jednak to nowoczesne podejście zadziałało wyjątkowo dobrze.
Komputer po prostu wykonał robotę. Ale to nie zastąpiło logiki. Naszym pomysłem było zastosowanie redukcji problemu nieskończonego do problemu skończonego - mówi prof. Marek Kaluba dodaje: Mamy jeden problem Problem z optymalizacją zmniejszone, a następnie do tego Optymalizacja Używane standardowe narzędzia - algorytmy, których inżynierowie używają do projektowania komponentów.
Komputer otrzymał zadanie znalezienia matrycy spełniającej określone kryteria. Maszyna stworzyła rozwiązanie, sprawdziła jak dobrze spełnia zadane warunki i sukcesywnie ulepszyła tę macierz, aby osiągnąć jak najmniejszy współczynnik błędów. Pytanie tylko, jak mały jest margines błędu, jaki może osiągnąć, okazało się, że błąd komputera przy ostatecznym przybliżeniu był bardzo, bardzo mały. Tak więc obliczenia komputera umożliwiły to - z tymi właściwymi argumenty matematyczne - Uzyskaj dokładne dowody.
Ten stworzony przez komputer Macierz miała 4,5 tysiąca kolumn i 4,5 tysiąca wierszy. Marek Kaluba wyjaśnia, że problem, nad którym pracowali, był początkowo zbyt duży, aby mógł zostać rozwiązany samodzielnie za pomocą superkomputera. Wykorzystaliśmy więc wewnętrzne symetrie tego problemu, aby łatwiej było znaleźć rozwiązanie - mówi. I wyjaśnia, że analogiczne podejście można również zastosować do rozwiązania innych problemów z zakresu optymalizacji obiektów metodą geometryczną Symetrie Oznaczone są. Te symetrie (w postaci algebraicznej) będą również obserwowalne w problemie optymalizacji i mogą być użyte do Redukcja złożoności może być używany - mówi dr hab. Kaluba. I dodaje: Chociaż zajmujemy się matematyką abstrakcyjną, chcemy, aby nasze oprogramowanie było przydatne również w zastosowaniach technicznych.